限界費用と利潤最大化

最重要のミクロ経済学：限界費用と利潤最大化

動画は、経済学・経済政策のなかでも得点に直結するミクロ経済学の超重要テーマとして、限界費用と利潤最大化を取り上げます。数式やアルファベットのグラフが並ぶと身構えてしまいますが、動画は暗記ではなく理屈として理解することを目標にしています。

• 限界費用（MC）：あと1個作るときの追加の費用と、その求め方
• 利潤最大化の条件：価格＝限界費用（P＝MC）。動画は、市場の価格を受け入れる企業を前提に話します
• グラフ分析：MC・AC・AVCの3本の曲線、損益分岐点、操業停止点、供給曲線

最後には、バラバラに見えるこの3つが1本の線につながる、という動画のいちばんの見せ場が待っています。順番に見ていきましょう。

限界費用は「あと1個」のための費用

限界費用は、英語の頭文字をとってMC（マージナルコスト）と表します。動画の定義では、生産量をあと1単位増やすときにかかる追加的な費用のことです。たとえば工場で製品を100個作っているとして、101個目のためだけにかかる材料費や人件費が限界費用です。

固定費用は生産量を増やしても変わりませんので、「追加でいくら増えたか」には入ってきません。この考え方が、あとで出てくる「操業停止の判断」でも効いてきます。

なぜ費用関数は3次関数なのか

試験問題では、費用がC(x)＝ax³＋…のような3次関数の形で出てきます。動画は、現実の工場を思い浮かべるよう促します。聞き手が、深夜残業や機械の故障を例に挙げ、追加のコストが雪だるま式に増えていく、と言い換えます。そのため費用は直線ではなく、ぐにゃっと曲がった3次関数で表される、という説明です。

限界費用は「接線の傾き」＝微分

動画によれば、ある生産量での限界費用は、費用関数の接線の傾きとして表せます。つまり、費用関数C(x)を微分したものが、そのまま限界費用MC(x)です。3次関数を微分すると2次関数になります。微分のルールは、動画のとおり「肩の数字を前に出して掛け算し、肩の数字を1つ減らす」だけです。

ここで、自作の設例で確かめます。固定費用20、費用関数をC(x)＝x³−6x²＋15x＋20とします。微分すると、MC(x)＝3x²−12x＋15です。生産量が4のとき、費用は64−96＋60＋20＝48、限界費用は3×16−12×4＋15＝15になります。生産量を4から5に1単位増やすと、費用は48から70になり、増えた分は22。接線の傾き15は、あくまでx＝4の地点での変化の勢いなので、1単位ぶんの実際の増加（22）とは少しずれます。この数値は自作の設例で、検算済みです。

利潤最大化の条件：P＝MC（価格を受け入れる企業の場合）

では、企業は何のために限界費用を計算するのでしょうか。動画の答えは、企業の究極のゴールである利潤の最大化のためです。企業にとって大切なのは売上高そのものではなく、売上高から費用を引いた残りの利潤です。

動画は、売上の傾きである価格Pと、費用の傾きである限界費用MCが等しくなるとき、つまりP＝MCになる量を作ったときに最も儲かる、と説明します。聞き手が「黄金の条件」と言い換えると、講師は、試験でも最重要ポイントだと応じます。

動画の答えはこうです。価格が限界費用を上回っているあいだは、作れば作るほど、少しずつでも利益が足されていきます。そして、これ以上作っても利益が増えない、プラスマイナス0になる境界線まで作りきると、企業全体の総利潤が最大になります。逆に、限界費用が価格を上回ってからは、作るたびに赤字が足されていくので、そこは作ってはいけません。ぴたりと止めるべき量が、P＝MCになる量です。聞き手は、これを「利益の足し算を、チリツモで限界まで積み上げる」と言い換えていました。

設例で確かめます。さきほどのC(x)＝x³−6x²＋15x＋20で、価格が15のとき、MC＝15になるのは3x²−12x＋15＝15より、x＝4です。このとき、売上は15×4＝60、費用は48で、利潤は12です。x＝3（利潤7）やx＝5（利潤5）より大きく、x＝4が最大です。

（補足：動画では、利潤最大化の条件を「売上の傾きである価格」とP＝MCで説明しています。この形が成り立つのは、企業が市場で決まった価格をそのまま受け入れて売る場合（完全競争の企業）です。一般には、売上の傾き（限界収入）が限界費用に等しいときに利潤が最大になり、価格が量によらず一定のときは限界収入が価格に等しくなる、という整理になります。また、利潤が最大になるのは、限界費用が右上がりになっている部分で価格と交わる点です。動画の「価格が高ければ作るほど利益が足される」は、離散的に1個ずつ見た説明で、式では利潤を生産量で微分してゼロとおくことに対応します。なお、P＝MC になる最後の1個は、作っても作らなくても利潤は同じです（作る1個ごとの利益が0になるため）。動画はそれを、手前の1個1個がすべて黒字であることで説明しています。）

「手」の字で描く3本の曲線

次は視覚的な理解です。動画は、グラフに登場するMC（限界費用）、AC（平均費用）、AVC（平均可変費用）の3本の曲線を、漢字の「手」の形で覚えることを勧めています。試験中にグラフの外形をメモするときの、描く順番も決まっています。

• まずMCから描く。手の真ん中を上から下へ突き抜ける縦棒のイメージで、右上がりの線
• 次にAVCを描く。U字型で、手の「下の横」のような位置。AVCの一番へこんだ最小値のところで、必ずMCと交わるように描く
• 最後にACを描く。これもU字型で、AVCより上側の「上の横」。ACの最小値のところでも、必ずMCと交わるように描く

動画では聞き手が、ACは全体の費用だからAVCの上に来る、と整理します。つまりMCという縦棒が、AVCとACという2つのお団子の一番底を、下から順に串刺しにしていくイメージです。

なぜ最小点でMCと交わるのか

聞き手が「試験の選択肢でもよく問われますよね」と確かめ、講師が接線の理屈で答えます。動画によれば、平均費用や平均可変費用は、原点などから引いた直線が費用関数の曲線に接するときに最小になります。いっぽう限界費用は、費用関数の接線の傾きそのものでした。つまり、ACやAVCが最小になる瞬間の接線の傾きと、MCが表す接線の傾きが、その点で完全に一致します。だから、グラフ上で必ず交差する、という説明です。

（補足：「原点などから」の中身を整理します。ACは総費用÷生産量なので、原点から費用関数の曲線上の点へ引いた直線の傾きです。AVCは可変費用÷生産量で、可変費用は総費用から固定費用を引いたものです。そのため、縦軸上の固定費用の高さの点（切片）から引いた直線の傾きになります。）

設例でも確かめます。AVC＝x²−6x＋15で、x＝3のとき最小値は6です。このときMC＝3×9−36＋15＝6で、一致します。ACはx³−3x²−10＝0を解いて、xが約3.72で最小になり、最小値は約11.9。このときのMCも約11.9です。（動画のグラフの数値ではなく、自作の設例で検算済みです。）

（補足：動画は、MCを「右上がりの線」と説明しています。設例の3次の費用関数のMCは2次関数なので、全体ではU字の形になります。右上がりになるのは、AVCやACの最小点を通り抜けるあたりです。）

グラフで利潤を読む：面積で見る

この「手」のグラフは、市場の価格Pが決まったとき、企業がどれくらい儲かっているのか、あるいは赤字なのかを一目で教えてくれる魔法のツールだと、動画は言います。読み方は次の4ステップです。

• 縦軸の価格Pの高さから横に水平線を引く。右上がりのMCとぶつかった点が、最適な生産量x
• 総収入は、価格P×生産量x。原点からその交点までの長方形の面積
• 総費用は、xの位置から真上にたどってACとぶつかった点の高さ（平均費用）×x。これも長方形の面積
• 2つの面積を比べる。総収入のほうが大きければ、その差額が黒字（利潤）

設例では、価格15、生産量4のとき、総収入は60、ACは12なので総費用は48、差の12が利潤です。さきほど計算した利潤12と一致します。（自作の設例で、検算済みです。）

価格が下がっていくと：2つの交点

では、市場の価格Pがどんどん下がっていったらどうなるでしょうか。動画は、ここで2つの超重要ポイントが登場する、と言います。さきほどMCが突き抜けた、2つの最小点です。

上の交点：損益分岐点（MCとACの交点）

市場の価格がこの点より上にあれば黒字です。価格がこの点まで下がると、総収入と総費用がぴったり同じになって利益は0。これより価格が下がると赤字に転落します。ここが赤字と黒字の境界線、損益分岐点です。

では、赤字になったらすぐ止める？

動画では、直感的には赤字ならすぐやめたほうがいい気がするが、そうではない、と話が進みます。工場を止めても、家賃や設備のローンのような固定費用は払い続けなければなりません。ここで下側のU字、AVC（平均可変費用）の出番です。価格が損益分岐点を下回っていても、AVCのラインより上にあるなら、売上で可変費用（材料費やアルバイト代）は全額まかなえた上で、固定費用の一部も補えています。生産を止めて固定費用の全額を赤字として負担するより、生産を続けて赤字の幅を縮めるほうがまし、という経営判断になります。

下の交点：操業停止点（MCとAVCの交点）

しかし、それにも限界があります。価格がAVCの最小点（MCとAVCの交点）まで下がると、売上では固定費用はおろか、製品を作るための可変費用すら回収できなくなります。作れば作るほど可変費用の赤字がふくらむので、ここで初めて、工場を止めて固定費用だけを払っていたほうがましになります。この下の交点を操業停止点と呼ぶ、と動画は言います。

自作の設例（固定費用20）では、損益分岐点の価格はACの最小値の約11.9、操業停止点の価格はAVCの最小値の6です。

価格P	P＝MCの生産量	利益
30	5	＋80
15	4	＋12
9	約3.41	約−10.3
6	3	−20

価格9なら作って約10.3の赤字、止めれば20の赤字なので作り続けるほうが小さくなります。価格6では作っても止めても赤字は20で同じです。

（補足：価格が操業停止点の価格ちょうどのときは、作っても止めても損失が同じになるので、どちらでもよい、と整理されるのが一般的です。また、「固定費用は止めても払う」のは、設備が手放せない短期の話です。）

聞き手が、試験の定番の引っかけとして、2つの点を逆に覚えさせる問題を挙げ、講師も「本当によく出ます」と応じます。手のグラフを自分で描いて、上のACは全費用を含むから高く、下のAVCは可変費用だけだから低い、と分かっていれば、上の交点が損益分岐点、下の交点が操業停止点だと迷わない、という整理です。

企業の供給曲線の正体

最後に、ここまでの知識がつながる結論です。企業は、価格が操業停止点より上にあれば、必ず価格＝限界費用（P＝MC）のルールで生産量を決めます。ということは、価格Pが上下に動いたとき、企業が生産量xを決める軌跡は、限界費用曲線そのものです。

動画は、供給曲線はどこかから湧いてきた別の線ではなく、私たちがずっと見てきた限界費用曲線のうち、操業停止点から上の部分をなぞったものだ、と言います。バラバラに見えた費用関数の微分、利潤最大化の式、企業の供給行動が、グラフの中で1本の線につながる。聞き手は、これを点と点が線になる「アハ体験」と受け止めていました。

（補足：ここでいう供給曲線は、個々の企業の短期の供給曲線です。市場全体の供給曲線は、市場にいる企業それぞれの供給量を、同じ価格のもとで足し合わせて作ります。）

動画の締めくくり：企業は「市場に決められている」

動画の最後の話題は、少し違った視点です。経営者が会議で自分の意思で自由に生産量を決めているように見えますが、実際には、市場が決めた価格と、自社のコスト構造である限界費用という厳格なルールによって、生産すべき量が自動的に決められているとも言える、という指摘です。これを受けて聞き手は、経営者の意思決定が、市場のメカニズムという見えざる手に支配されているということですね、と言い換えていました。

まとめ